Теорема Эрмита о целых частях.

Верно равенство: [x]+[x+1/n]+[x+2/n]+...+[x+(n-1)/n]=[nx] x, nÎR, n¹0.

Доказательство.

Для 0x<1/n равенство верно, т.к. 0=0. При увеличении x на 1/n [nx] увеличивается на 1, т.к. nx увеличивается на 1. Левая часть тоже увеличится на 1, т.к. в ней до увеличения было ровно одно число m с {m}(n-1)/n (т.к. разность между двумя соседними числами под знаками целой части - 1/n; таких чисел n), т.е. ровно одно число увеличилось в левой части на 1 (остальные не изменились). Отсюда при всех x0 равенство верно. При x<0 равенство доказывается уменьшением x на 1/n (от 0x<1/n). Правая часть уменьшается на 1, т.к. nx уменьшается на 1. Левая часть уменьшается на 1, т.к. там в силу тех же причин существует ровно одно число m с {m}1/n. Отсюда равенство верно для x<0. Т.е. равенство верно и для всех x, nÎR, n¹0.

Эрмит (Hermite) Шарль (1822—1901), французский математик, иностранный член-корреспондент (1857) и иностранный почётный член (1895) Петербургской АН. Труды по математическому анализу, теории чисел, алгебре.