Теорема Фарея-Коши-Хароша.

Пусть a/b и c/d - соседние члены ряда F_N. Тогда bc-ad=1.

Доказательство.

1) Докажем свойство 1 из вводных понятий. Пусть a/b и c/b - "соседи" в F_N (c>a). Тогда a<b-1. Отсюда a/b<a/(b-1)<(a+1)/bc/b. Противоречие.
2) Пусть a/b и c/d - соседние члены ряда Фарея. Докажем, что a/b<(a+c)/(b+d)<c/d. Т.к. a/b<c/d, то ad<bc, т.е. ab+ad<ab+bc, т.е. a(b+d)<b(a+c), т.е. a/b<(a+c)/(b+d). ad<bc, т.е. ad+cd<bc+cd, т.е. d(a+c)<c(b+d), т.е. (a+c)(b+d)<c/d.
3) Приступим к доказательству самой теоремы. Докажем ее по индукции с использованием метода от противного.
База: N=1. 0/1 и 1/1 - единственные соседи. Тогда a=0; b=c=d=1. bc-ad=1-0=1. Отсюда база верна.
Переход: Пусть при N=k теорема верна.
Докажем, теорему при N=k+1. Пусть в ряду F_N есть такие соседи a/b и c/d, что в ряду F_N+1 между ними стоит k/t (a/b<k/t<c/d) (мы используем метод от противного), что max(kb-at; ct-kd)>1 (kb-at>0; ct-kd>0). bc-ad=1. Между a/b и c/d не может стоять более 1 числа, т.к. иначе по (1) у одного из них был бы знаменатель, N, что противоречит тому, что этого числа в F_N не было. 1/bd=(bc-ad)/bd=c/d-a/b=(c/d-k/t)+(k/t-a/b). Т.к. kb-at>0; ct-kd>0, а max(kb-at; ct-kd)>1, то (c/d-k/t)+(k/t-a/b)=(ct-kd)/(dt)+(kb-at)/(bt)>1/(dt)+1/(bt)=(b+d)/(bdt). Отсюда 1/bd>(b+d)/(bdt), т.е. 1>(b+d)/t, т.е. t>(b+d). Т.к. t=N+1 (k/t не было в F_N, но оно есть в F_N+1), то b+dN. По (2) a/b<(a+c)/(b+d)<c/d, т.е. (a+c)/(b+d) должно было быть в F_N. Но этого не было, т.к. a/b и c/d - соседи в F_N. Противоречие, т.е. max(kb-at; ct-kd)=1, т.е. kb-at=ct-kd=1. Теорема доказана.