Теорема Евклида о совершенных числах.

Пусть 2ⁿ⁺¹-1 - простое число. Тогда число 2ⁿ(2ⁿ⁺¹-1) - совершенное.

Доказательство.

Т.к. 2ⁿ⁺¹ - простое, то делителями числа 2ⁿ(2ⁿ⁺¹-1) являются 1; 2; ... 2ⁿ; (2ⁿ⁺¹-1); 2(2ⁿ⁺¹-1); ...; 2^n-1(2ⁿ⁺¹-1). Используя равенство 1+2+2²+...+2ⁿ=2ⁿ⁺¹-1, получаем, что сумма делителем числа 2ⁿ(2ⁿ⁺¹-1) без самого него есть это же число. Отсюда это число совершенно.