Неравенство Чебышева.

Пусть a₁a_2...a_k; b₁b₂...b_k. Тогда верно неравенство k(a₁b₁+a₂b₂+...+a_kb_k)(a₁+a₂+...+a_k)(b₁+b₂+...+b_k).

Доказательство.

Докажем, что a_ib_i+a_jb_ja_jb_i+a_ib_j  (1) (ij): (a_ib_i+a_jb_j)-(a_jb_i+a_ib_j)=b_j(a_j-a_i)-b_i(a_j-a_i)=(b_j-b_i)(a_j-a_i)0. Заметим, что в обеих частях a₁b₁+a₂b₂+...+a_kb_k сокращаются. Остается k(k-1) одночленов в каждой части. Применяя k(k-1)/2 раз неравенство (1) для этих k(k-1) одночленов  в каждой части, получаем требуемое.

Чебышев Пафнутий Львович (произносится Чебышёв) (1821—1894), математик, создатель петербургской научной школы, академик Петербургской Академии наук (1856). Для творчества Чебышева характерны разнообразие областей исследования, умение находить элементарными средствами фундаментальные результаты, стремление связать проблемы математики с принципиальными вопросами естествознания и техники. Многие открытия Чебышева обусловлены прикладными исследованиями, главным образом в теории механизмов. Создал теорию наилучшего приближения функций с помощью многочленов, в теории вероятностей доказал, в весьма общей форме, закон больших чисел, в теории чисел — асимптотический закон распределения простых чисел и др. Труды Чебышева положили начало развитию многих новых разделов математики.

 В начало.
Назад.