Неравенство Бернулли.
(1+x)n
1+nx,
где n – натуральное число,
а x>-1.
Доказательство.
Докажем
формулу по индукции. База: n=1: (1+x)1+x.
Отсюда база верна. Докажем переход. Пусть при x=k утверждение верно. Докажем его для x=k+1. Для этого докажем неравенство x(1+x)kx, где x>-1. При x<0 неравенство верно, т.к. 0<(1+x)k<1 (x<0). При x=0 оно верно, т.к. 00. При x>0 данное неравенство следует из неравенства (1+x)k>1 умножением на x
x(1+x)kx (1)– верно при x>-1. Т.к. неравенство Бернулли верно при x=k, то можно добавить в левую часть неравенства (1) (1+x)k, а в правую – 1+kx и полученное неравенство будет
иметь тот же знак, что и неравенство (1). Получим (1+x)k+x(1+x)kx+(1+kx). Отсюда (1+x)k(1+x)1+(k+1)x. Отсюда неравенство верно для n=k+1. Переход доказан, т.е. по принципу математической
индукции данное утверждение верно для любых n натуральных и x>-1.
Бернулли (Bernoulli), семья
швейцарских учёных — математиков, механиков, акустиков. Наиболее известны: Якоб
(1654—1705), развил методы исчисления бесконечно малых Г. Лейбница; в теории
вероятностей доказал простейший случай закона больших чисел — теорему Бернулли;
совместно с братом Иоганном положил начало вариационному исчислению. Иоганн
(1667—1748), иностранный почётный член Петербургской Академии наук (1725). Труды
по исчислению бесконечно малых и вариационному исчислению. Даниил (1700—1782),
академик (1725—33) и иностранный почётный член Петербургской Академии наук
(1733), сын Иоганна. Разрабатывал законы механики жидких и газообразных тел
(уравнение Бернулли). Наиболее известный труд — «Гидродинамика» (1738). Якоб
(1759—1789), племянник Даниила. Труд «Теоретический очерк о вибрациях эластичных
пластин» (СПб., 1789). Один из представителей семьи Бернулли — Эдуард
(1867—1927), музыковед. Труды о музыке средневековья. Профессор Цюрихского
университета (с 1921).
